2014年1月31日金曜日

4乗すると負の単位行列になる行列

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

4乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、4乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

以下で、この行列Mの2乗から4乗まで順に計算していきます。

この4乗の結果が負の単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、係数が実数の解だけを求めます。
この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。




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2014年1月28日火曜日

3乗すると単位行列になる行列

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

3乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、3乗すると単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

3乗すると単位行列になる行列Mを、これらの行列要素の和に分解して考えます。
 
この3乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、この式を解きます。
(注意)以下の計算で、gのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数gが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Hが0行列であってMがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。

この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。






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行列の積の素早い計算方法

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

以下の行列の掛け算の計算方法が、通常の計算方法の数倍ぐらい速いので、覚えておきましょう。

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2014年1月27日月曜日

行列の便利な要素の関係式

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

以下の行列の要素の関係が便利なので、覚えておきましょう。
(以下の式で、I,A,B,Cは行列を示し、a,b,cは定数を示します)


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2014年1月26日日曜日

複数回繰り返すと0になる操作

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

以下のように、1回目の操作では値が0にならないが、2回以上繰り返すと結果を0にする操作があります。

【例1】

【例2】


(この操作を利用した問題)
 このように演算を複数回繰り返すと値が0になる演算を利用すると、数列の問題を作ることができます。つまり、これらの演算を施して順番に次の関数や行列を作るという数列の問題を作ることができます。

 その数列の問題は、一見難しそうに見えますが、演算を2回以上繰り返すと値が0になるということが理解できると、問題がやさしく解けます。



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2014年1月24日金曜日

三角関数の3倍角の公式の問題

大学への数学Ⅲ&Cの勉強
いろいろな曲線

【問題】
以下の式であらわされる曲線の問題を解きます。
(問題おわり)

 この問題は、以下のようにして解くことができます。

(解答はじめ)
 三角関数は、積の形よりも和の形であらわす方が単純な形であると心得て、これから、三角関数が和の形であらわされるまで計算を続けます。
 
(解答おわり)

(この問題を解いてみてわかった知恵)
 解答を正しく導くためにおぼえるべき3倍角の公式は、以下の公式を覚える方が、解答の助けになる。



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2014年1月23日木曜日

ループで囲まれた図形の面積の計算

大学への数学Ⅲ&Cの勉強
積分の応用

【解説】
ループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積を計算するときには、以下のようにして計算すると計算ミスも少なく答えが得られますので覚えておきましょう。
上図のようなおむすび形の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周するものとします。

この場合に、上図の図形のx方向の幅が細い微小面積であってその先端が図形の境界位置でy座標が大きい側にある微小面積を考え、それをx方向の正方向に積分することで面積を加算します。


次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、上の式であらわされるように、パラメータθを用いた1つの単純な積分計算に帰着します。
上のような、図形のx座標が大きい側の境界を先端にすろy方向の幅が細い微小面積をy方向の負方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで面積を加算します。 
次に、上のような、図形のx座標が小さい側の境界を先端にするy方向の幅が細い微小面積をy方向の正の方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで、負の面積を加算します。すなわち、x座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のような曲線の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を1方向に移動するものとします。

この場合に、その曲線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、以下のように計算します。

先ず、上のような、図形のy座標が大きい側の境界を先端にする微小面積をx方向の正方向に積分することで面積を加算します。

次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のようなy座標が負である曲線の境界線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、上の式で計算します。
求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。


【問題】
以下の式のように、 境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周する場合に、このループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積Sを計算せよ。
(問題おわり)

 この問題は、上で説明したようにパラメータθで単純な積分計算をすることで解けます。
試験問題で上の積分計算を利用して解答を書く場合は、(時間に余裕があったら)上の説明を簡単に解答に書いて、その計算の正当性を説明するようにしてください。


(解答はじめ)
  (解答おわり)

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