2015年2月14日土曜日

原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法




【解説】
直線を座標原点を中心に回転させた場合の楕円の方程式を考える。
 先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。
この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。
 ここで、楕円の軸方向のベクトルgとhを考えます。
この軸ベクトルgとhを使って楕円上の点Pの位置ベクトルをあらわすことにすると、以下の式が成り立つ。
そして、楕円の式を変形して、楕円の式の意味を考える。
 回転した楕円の方程式を、楕円上の点Pの位置ベクトルPに対するべクトルの関数Fを使って、そのベクトルFと位置ベクトルPとの内積が1になる方程式であると解釈します。
 そのベクトル関数Fは、以下の式のように、楕円の2つの軸方向の各ベクトルを、それぞれ異なる倍率1/aと1/b倍のベクトルに拡大するベクトル関数であると解釈できます。 
楕円をあらわすベクトル方程式のベクトル関数FがXY座標方向の単位ベクトルxとyに対してはどのように作用するかを調べてみます。


 上の式のように、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があります。

 次に、下の図のように、ベクトルPを、単位ベクトルxのX倍のベクトルと、単位ベクトルyのY倍のベクトルの和であらわします。

そのベクトルPに関する楕円の方程式を以下のように計算します。


すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Fを使って、以下の式であらわした。
 
このように、系数A,B,Cを使ったX座標とY座標の関数で楕円があらわされる。

【問】
 このような形で原点の回りに回転した楕円の方程式が与えられたとき、その楕円の回転軸の方向を計算する公式を求めよ。

 この問題を解くために、ベクトル関数Fは、X座標の方向の単位ベクトルxと、Y座標の方向の単位ベクトルyを、系数A,B,Cを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考える。
 ここで、このべクトル関数Fは、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があるので、その関係を満足するように関数の形を確定しました。

 こうしてベクトル関数Fの形が定められた。
 次に、このベクトル関数Fによってベクトルの方向が変えられないベクトルgとhを求める。
 そのベクトルgとhが楕円の軸方向のベクトルであり、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしている。
 その軸方向のベクトルgとhの、x座標軸と成す角度θのタンジェントtanθを求めよ。

 できれば、この問題を自力で解いて欲しい。 その方が、楽しく数学を学べると思いますので。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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