2012年4月5日木曜日

双曲線を円に1次変換する


 
大学への数学Ⅲ&Cの勉強
行列と連立1次方程式


【解説】

-X=1 (1)
+(i・X)=1 (2)
すなわち、以下のように1次変換することで双曲線を円に変換できる。
Y’=Y (3)
X’=i・X (4)
Y’+X’=1 (5)
この変換により、直線
Y=2 (6)
は、同じ式に変換される。
Y’=2 (7)
その直線が双曲線と交わる2つの交点で双曲線に2つの接線を引いたとき、
その2つの接線同士が交わる点(極)

(0,1/2)
も同じ点に変換される。
しかし、式7の直線と式5の円とは交わらない。
式6の直線と式1の双曲線は交わったのに。


この矛盾は、以下のように考えれば解消する。
式7の直線と式5の円は、
複素数座標の点
(i・√3,2)
で、交わる。
式5の円は、X’の虚数座標(とY’の実数座標)では
双曲線の形をしている。

 


リンク:
追加講:三角形の面積と行列式
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