2012年3月20日火曜日

楕円を円に一次変換する



大学への数学Ⅲ&Cの勉強
行列と連立1次方程式


【解説】


上図のように、回転した楕円の位置座標(X,Y)を行列Aksにより(X’,Y’)に一次変換して楕円を円に変形する問題を考える。


点(X,Y)の描く楕円の式は以下のように変形できる。


この式を以下のように、

とする一次変換の行列Aksを求める問題です。
この式は以下のように変形できます。


このような関係を満足する行列Aksを求める問題に帰着します。

この解は1つではありませんが、以下で、1つの解を計算する方法を説明します。また、別解として、より簡単に得られる解の計算方法を示します。

ここで、楕円の式を与える行列Fmpの固有値をαとαとする。楕円の式をあらわすとき、これらの固有値は正値である。

固有値αの固有ベクトルをPm1とし、
固有値αの固有ベクトルをPm2とする。
ここで、一旦、アインシュタインの縮約表記を止める。
以下の式が成り立つ。

(以下の公式を思い出して)



このように定義した行列Ampも解の1つとなり得ることを以下で証明する。
固有値が正値であるので、その平方根も実数で得られる。

その平方根は、正値以外に、負の値にしてもかまわないが、以下の計算では、正値の平方根で計算を進める。

ここで、ケイリーハミルトンの定理を利用して、この行列Ampが対称行列であることを証明する。


(補足)なお、対称行列Fmpの固有ベクトルは互いに直交するべクトルになることが知られている。そして、その場合は、固有ベクトルの作る座標変換の行列Pmkは回転行列になるように整えることができる。その場合は、その回転行列で変換して作られる行列Ampは対称行列になる。(n行n列の行列で同様な問題を扱う場合は、そのようにして、行列Ampが対称行列になることを証明する)

行列Ampが定義できたので、
以下では、アインシュタインの縮約表記に戻って、計算を進める。



こうして、回転した楕円を、その楕円の位置座標(X,Y)を以上の計算で求めた行列Aksを使って(X’,Y’)に一次変換すれば、その楕円を円に変形することができることがわかった。

【別解】

とおくと、
ここで、元の式で、b>0でなければならない。
そして、
(c-(d/b))>0であることが楕円の条件である。
(c-(d/b))<0の場合は、双曲線の標準形に1次変換される。
(c-(d/b))=0の場合は、2つの直線に1次変換される。
放物線に1次変換されるためには、元の式にXかYの1次の項がある必要がある。

よって、
11=√b
12=(d/√b)
21=0
22=√(c-(d/b))

ここで得られた行列を使って検算すると、たしかに以下の式が成り立っている。
tmtp=Fmp
tmの解のうち、この解が一番速く計算できる。

【総合解答】
上の別解を拡張して全てのAtmの解を計算する。
bX+2dXY+cY=1 (1)


以下の形のX、Yに関する恒等式を組み立てる。
bX+2dXY+cY(fX+gY)+(hX+kY) (2)
X’=fX+gY
Y’=hX+kY

上の恒等式2を組み立てると、最初の式1は以下の式3に書き換えることができる。
X’+Y’=1 (3)
 

 以下では、先の式2が恒等式になるために必要なf,g,h,kの条件を求める。
+h=b (4)
+k=c (5)
2fg+2hk=2d (6)
必要な条件は以上の式4から6である。
 

式4から式6の連立方程式を解く。
f=(√b)cosα (7)
h=(√b)sinα (8)
g=(√c)sinβ (9)
k=(√c)cosβ (10)

上のように式7から10でf,g,h,kを定めると、式4と式5が成り立つ。
式6に式7から式10を代入し、2で割ると以下の式を得る。
(√(bc)){cosα・sinβ+sinα・cosβ}=d
sin(α+β)=d/(√(bc)) (11)
ここで、
α+β=θ (12)
とおいて、式11を書き換えると、
sin(θ)=d/(√(bc)) (13)
この式13により、θが定まる。
任意のαと、固定した値のθとで、f,g,h,k全てがあらわされる。
式12から、
β=θ-α
として、式9と10を書き換えると、
g=(√c)sin(θ-α) (14)
k=(√c)cos(θ-α) (15)
式13で定められるθと任意の値のパラメータαを用いて、式7,8、14、15で、変換の全てのパラメータf,g,h,kが定められる。

【対称行列となる解】
これで解答が得られたが、このうち、パラメータf、g、h、kで定まる変換行列が対称行列になる特別な場合を調べておく。
g=h=(√c)sin(θ-α)=(√b)sinα
sinα(-(√c)cosθ-(√b))+cosα((√c)sinθ)=0
1/tanα=((√c)cosθ+(√b))/((√c)sinθ)
cosθ≧0とする解は
1/tanα
=((√c)√(1-(d/(bc)))+(√b))/((√c)(d/(√(bc))))
=(√(c-(d/b))+(√b))/((d/(√b)))
=(√(bc-d)+b)/d
1/sinα=1+(1/tanα)
={d+(bc-d)+b+2b√(bc-d)}/d
={bc+b+2b√(bc-d)}/d
=b{c+b+2√(bc-d)}/d
=h=b・sinα=d/{c+b+2√(bc-d)}
=d/{c+b+2√(bc-d)}
bc-d=Δ とおくと、
=h=d/{c+b+2√(Δ)}
gとhがdと同じ符号を持つ解を求める。
g=h=d/√{c+b+2√(Δ)}
式1から、
f=h/tanα=(√(Δ)+b)/√{c+b+2√(Δ)}
式0から
fg+hk=d
(√(Δ)+b)d/{c+b+2√(Δ)}+dk/√{c+b+2√(Δ)}=d
(√(Δ)+b)/{c+b+2√(Δ)}+k/√{c+b+2√(Δ)}=1
(√(Δ)+b)/√{c+b+2√(Δ)}+k=√{c+b+2√(Δ)}
k={c+b+2√(Δ)-(√(Δ)+b)}/√{c+b+2√(Δ)}
={c+√(Δ)}/√{c+b+2√(Δ)}
以上で得た解を整理する。

ここで得たパラメータf,g=h,kから成る1次変換の対称行列Atmとパラメータb,c,dからなる対称行列Fmpとは、掛け算を計算してみると、演算順序を交換しても結果が変わりません。
これは、次のページで説明することですが、行列Atmと行列Fmpとは固有ベクトルを共有していることを意味します。
そのため、この行列Atmは、最初に考察した1つの解、その固有値が行列Fmpの固有値の平方根である対称行列の具体的な解になっています。

【対称行列となる変換行列Atmの簡単な計算方法】
パラメータf、g、h、kで定まる変換行列Atmが対称行列になる場合には、その行列の2乗が対称行列Fmpになることを利用して、もっと簡単に変換行列Atmを求めることができます。その計算方法を以下で説明します。
tmmk=Ftk (1)
この場合、行列Ftkの行列式
bc-d=Δ
とおくと、
行列Atmの行列式=±√Δ
になります。このうち、行列式が√Δとなる解のみを求める。
行列Atmに関するケイリー・ハミルトンの定理は以下の式になります。
tmmk-(A11+A22)Atk+(√Δ)Etk=0tk (2)
式2に式1を代入すると、
tk-(A11+A22)Atk+(√Δ)Etk=0tk
(A11+A22)Atk=Ftk+(√Δ)Etk (3)
この行列の対角要素の和を計算する。
(A11+A22=F11+F22+2(√Δ)
(A11+A22)=√{F11+F22+2(√Δ)}=√{b+c+2(√Δ)}
これを式3に代入する。





リンク:
追加講:三角形の面積と行列式
高校数学の目次

2012年3月15日木曜日

固有ベクトルが同じ行列



大学への数学Ⅲ&Cの勉強
行列と連立1次方程式


【解説】
固有値はどうであれ、固有ベクトルが同じ2つの行列を考えます。
特に、n行n列の行列ならn個の共通する固有ベクトル
t1
t2
・・・
tn
が存在する”正常な”行列AstとBstを考えます。
それらのベクトルを固有ベクトルとする行列Astは、その固有ベクトルを並べた行列Ptkを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Cukに変換できます。
-1ussttk=Cuk   ←Asttk=Psuuk
同じそれらのベクトルを固有ベクトルとする行列Bstも同様に、行列Ptkを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Dukに変換できます。
-1ussttk=Duk
対角化された行列CとDでは、以下の関係が成り立ちます。
ukks=Dukks  (1)
なぜなら、u=k=sの場合以外では、式1の項が0になるからです。そして、以下の式のように、u=k=sとなるk番目の対角成分がkkkkになり、その積の値は行列CとDの積の順番には関係しないからです。
 式1により、対角行列の掛け算の順序が交換可能(可換)です。
この式1の左からPmuを掛け算して、右からはP-1stを掛け算します。 
muukks-1st=Pmuukks-1st
muup-1pwwkks-1st=Pmuup-1pwwkks-1st
mwwt=Bmwwt
∴ 行列Amwと行列Bwtの掛け算の順序が交換可能(可換)です。


逆に、n行n列の行列に関して、n個の固有ベクトルの数を完備する”正常な”行列AstとBstの掛け算の順序が交換可能(可換)な場合に、行列Amwの固有ベクトルn個が、そっくりそのまま、行列Bstの固有ベクトルでもあります。そのことを以下で証明します。
mwwt=Bmwwt  (2)
この行列Amwの固有ベクトルn個を並べた行列をPmuとします。
この式2の左からP-1umを掛け算して、右からはPtsを掛け算します。 
-1ummwwtts=P-1ummwwtts
-1ummppk-1kwwtts=P-1ummppk-1kwwtts
uk-1kwwtts=P-1ummppkks
ここで、Cukは対角行列であるから、
その対角された成分(固有値)を順番にαとすると、
α-1uwwtts=P-1ummppsα
α-1ummpps=P-1ummppsα
(α-α)P-1ummpps=0us (3)
ここで、行列Amwの全ての固有値αが異なる場合は、
式3の左辺の行列のu行s列のu≠sである成分を(α-α)で割り算した結果が式3の右辺の0行列の各成分の値0と等しくなります。
u≠sの場合、
-1ummpps=0us
すなわち、P-1ummppsは対角行列になります。
つまり、行列Bmpも、行列Amwの固有ベクトルの作る行列Ppsで対角化できます。
行列Bmpを対角化できる行列Ppsの各縦ベクトルは、行列Bmpの固有ベクトルです。
∴ (行列Amwの全ての固有値αが異なる場合は)
行列AstとBstの掛け算の順序が交換可能(可換)な場合には、行列Amwの固有ベクトルn個が、そっくりそのまま、行列Bstの固有ベクトルになります。
よって、行列が単位行列の定数倍以外であって、行列の固有値が重解(重根)を持たないときは、
(1)行列AとBの固有ベクトル(の方向)が同じならば、行列の積AB=BAになり、
(2)行列の積AB=BAならば、 行列AとBの固有ベクトル(の方向)が同じになります。

【対角行列】
対角行列の固有ベクトルは(1,0)と(0,1)で、この固有ベクトルをすべての対角行列が共有します。
そのため対角行列同士では行列の積が交換可能です。
対角行列との行列の積が交換可能な行列は対角行列です。

【回転行列】
また、回転行列の固有ベクトルは(i,1)と(i,-1)であって、この固有ベクトルはすべての回転行列が共有します。 
そのため、回転行列同士では行列の積が交換可能です。
回転行列との行列の積が交換可能な行列は回転行列です。

固有ベクトルを共有する行列は行列の積が交換可能であるという原理は、大学で量子力学を学ぶときなどに利用されます。

【単位行列E
mwとその他の行列との計算順の交換関係】
n行n列の単位行列のn個の固有値は全て1であって等しい。
この単位行列は、全ての行列と計算順序を交換できます。
単位行列の固有ベクトルは全ての方向のベクトルが固有ベクトルです。
そのため、単位行列と計算順序を交換する全ての行列毎に、その行列の固有ベクトルは単位行列の固有ベクトルでもあります。
そのことは、以下の様に言うこともできます。
(単位行列Emwの全ての固有値αが等しい場合)
単位行列Estと任意の行列Bstの掛け算の順序がいつでも交換可能(可換)である。その場合に、行列Bmwの固有ベクトルn個を、そっくりそのまま、単位行列Estの固有ベクトルにすることができます。

(結局、行列Amwの固有値が全て異なっていても、又、同じ値が重なっているという場合にも)
行列AstとBstの掛け算の順序が交換可能(可換)な場合には、行列Amwの固有ベクトルn個と、行列Bstのn個の固有ベクトルを同じベクトルに合わせることができます。


固有ベクトルが一致する関係が成り立つことが本質的に重要です。
2行2列の行列の場合に、行列AstとBstの掛け算の順序が交換可能(可換)な場合に、
st=βAst+γEst
となることが試験問題に出されていますが、それは、2行2列の行列で、固有ベクトルが同じ行列がそういう式であらわされるからです。
2行2列の行列でこの関係が成り立つ理由は、
2行2列の行列に限っては、あらゆる対角行列Dstは、固有値の異なる対角行列Cstを使って、
st=βCst+γEst
とあらわすことができることに由来します。
しかし、3行3列以上の行列では、
計算順序が交換可能(可換)な行列同士では、固有ベクトルが一致しますが、
st=βAst+γEstという関係は必ずしも成り立たない。それは、可換な行列同士に普遍的に成り立つ関係ではありません。

しかしながら、それにより、
「2行2列の行列に限っては、単位行列と足し合わせることで、計算順序が交換できる全ての行列を作ることができる」
という便利な関係があることがわかります。

【楕円をあらわす行列と固有ベクトルが同じ行列を作って楕円の固有ベクトル(軸ベクトル)を計算する】
この行列には、列ベクトル同士の内積が0になる、すなわち、列ベクトルが直交するという特別な性質があります。
そのため、この行列は以下のようにあらわすことができます。
 この行列Sは、以下のように、ベクトルを、傾き角θの直線に関して対称なベクトルに変換する行列です。
つまり、傾き角度θの直線の方向のベクトル成分はそのままにして、それに直交する方向のベクトル成分には-1を掛け算する変換をする行列です。
 傾き角度θの直線の方向のベクトルが第1の固有ベクトルであり、それに直交する方向のベクトルが第2の固有ベクトルです。
それらの固有ベクトルは、以下のように計算することができます。
こうして求めた固有ベクトルは、元の、楕円を与える行列Fの固有ベクトルでもあります。

 こうして、楕円の行列Fの固有ベクトル、すなわち、楕円の軸方向のベクトルが求められた。

2012年3月11日日曜日

固有値が同じ行列



大学への数学Ⅲ&Cの勉強
行列と連立1次方程式


【解説】
  対角行列Bmkから、以下の様にして行列式Δが0では無い行列Psmを使って、
固有値が同じ行列Astを作ることができます。
行列Ast固有値λは以下の行列式により得られます。
 上の式のように、その行列Astの固有値λを計算すると、その固有値λは対角行列Bmkの固有値と等しくなります。
対角行列からでは無くても、同様に変換された行列同士の固有値λは等しくなります。


この行列Astの意味を以下で説明します。
あるベクトルXと、そのベクトルが対角行列Bmkにより変換された結果のベクトルYとがある場合:
=Bmk  (1)
 その2つのベクトルを、行列Psmで新しいベクトルX’とY’に変換した場合に、その新しいベクトル間の変換の行列をAstであらわせるものとします。
X’=Psm  (2)
Y’=Psm  (3)
Y’=AstX’  (4)
(4)に、(2)と(3)を代入。
sm=Asttk
-1usを左から掛け算する。
-1ussm=P-1ussttk
=P-1ussttk 
(1)を代入する。
 uk=P-1ussttk 
上式が任意のベクトルXで成り立つ条件を求める。
それは、ベクトルXの各成分毎に、係数同士が等しいことである。
それは、以下の式になる。
uk=P-1ussttk
wuを左から掛け算し、P-1kmを右から掛け算する。
wuuk-1km=Pwu-1ussttk-1km=Ewssttm
wuuk-1km=Awm

ベクトル(1,0)が行列Bukで変換されてベクトルλ(1,0)になる。
 その各ベクトルをPsmで1次変換すると、
 変換されたベクトル同士では、縦ベクトルPt1が行列Astによって縦ベクトルλt1に変換される関係になる。
 すなわち、行列Astに関しては、縦ベクトルPt1が固有値λについての固有ベクトルです。
そのため、Ptkは固有ベクトルを並べた行列になっている。
つまり、以下の式が成り立ちます。
 ここで、
wuuk-1km=Awm
という式や、
uk=P-1ussttk
という式は、以下のように覚え易い形に変形して覚えます。
suuk=Asttk
 この式の左辺は、ベクトルXを対角行列Bukで変換したベクトルを作って、そのベクトルを1次変換Psuで変換する操作です。
右辺は、ベクトルXを前もってPtkで1次変換してしておいて、1次変換後のベクトルを行列Astで変換する操作です。
左辺の操作は右辺の操作と同じ結果を出します。
特に、左辺では、対角行列Bukによって、ベクトル(1,0)を第1の固有値倍に変換し、ベクトル(0,1)を第2の固有値倍に変換します。
右辺では、それらのベクトルがPtkで1次変換された結果のベクトル、すなわち、行列Ptkの縦ベクトルが固有値倍に変換されます。


以上の結果から、 行列Astの固有値を計算して、その固有値に対応する2つの固有ベクトルを計算して、その2つの固有ベクトルを並べた行列Ptkを使えば、行列Astを行列Ptkによって対角化した行列Bmkを逆算することができます。
行列Astから対角化した行列Bmkを求めることを、行列の対角化と言います。

(固有値が同じ行列の例)
行列Awuukと行列Bwuukとは等しくない場合が多いですが、
-1km(Amuus)=Bks=(Bkmmu)A-1us
が成り立ちます。
そのため、 行列Awuukと行列Bwuukとは同じ固有値を持ち、行列A-1kmによって互いに変換されます。

また 、行列Awuukと行列Bwuukは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
tr(AB)=tr(BA)
です。


(固有値が同じ行列の性質)
なお、対角行列Bから、PBP-1=Aとする変換で作ることができない行列Aもあります。
そういう行列Aでも、固有値を求める上記のn行n列の行列式の、
(n-1)の係数=-固有値の和=-行列Aの対角要素の和
になります。
そのため、いずれにしろ、
 固有値の和=行列Aの対角要素の和
が成り立ちます。 

(注意)
固有値が同じ行列同士を変換する行列Ptkが求められるためには、変換される行列Astの固有ベクトルが2つなければなりません。
大学生も間違え易い問題点ですが、
行列Astの固有ベクトルが2つあるのは、以下の場合のみです。
(1)その2つの固有値が異なる場合。
(2)その2つの固有値αが等しいが、行列Ast=α・Estである場合。

2つの固有値が等しい場合で、行列Astが単位行列の固有値倍の行列では無い場合は、固有ベクトルは1つしかありません。その行列Astは、どの行列Ptkで変換しても、対角化された行列には変換できません。


(第2の方法)
次に、行列Ptkで変換しない方法で、固有値が同じ行列を作る方法を説明します。
固有値が同じ行列では対角要素の和(すなわち、固有値の和)が変わらないので、以下のような行列の足し算を考えます。
ここで、行列Astの固有値は以下の式で計算できます。
この固有値が行列Bmkの固有値と等しくなるためには、以下の式が成り立つ必要があります。

この式を満足するパラメータaを持つ行列を足し合わせると、その行列の固有値は変わりません。

この変換方法では、2つの固有値が等しい場合で、行列Astが単位行列の固有値倍の行列では無い場合にも、その行列Astから対角化された(固有値が等しい)行列を作ることができます。
しかし、この変換は、単に固有値が同じ行列を作るだけの処理です。
行列Ptkで1次変換して行列を作るわけではないので、作られた行列の性質が元の行列の性質と同じであるという保証はありません。


【固有値が重根の場合の、固有値が等しい行列】
以下では、固有値が重根の場合に、固有値が同じ行列を作ってみます。
先ず、固有値が重根の対角行列、すなわち単位行列の定数倍の対角行列から、1次変換により、固有値が等しい行列を作ってみます。
 単位行列の定数倍の対角行列から、1次変換によって固有値が等しい行列を作ると、その結果は元の行列と変わりません。
そのため、固有値が重根であって対角行列で無い行列は、どのように1次変換しても決して対角行列にはならないのです。


次に、先に説明した第2の方法で、単位行列と固有値が等しい行列を作ってみます。


この新しい行列は元の行列と同じで固有値1を持ちます。この新しい行列の固有ベクトルは(1,1)に比例するベクトルだけです。
それ以外のベクトル(F, F)は、
F(2,1)+F(-1,0)

=F((1,0)+(1,1))+F((0,1)+(-1,-1))
=(F,F)+(F-F)(1,1)
に変換します。
変換の結果の方向が変わらないベクトル、すなわち、固有値倍に変換されるベクトルはベクトル(1,1)の方向のベクトルのみです。


そもそも固有値は、固有ベクトルを求める式が源になって定義されたパラメータです。
この場合は、その求める対象の固有ベクトルが1つしか無いので、
固有値が重根(重解)となって2つ得られたというのは見せかけであって、1つの固有値しか得られていないと解釈できます。




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