2011年7月14日木曜日

楕円と直線の接点

「大学への数学ⅢC」の勉強

【問1】座標原点を中心にする楕円(x/a+y/b=1)と、直線3x/√(3+2)+2y/√(3+2)=mとが接する場合のその接線と楕円の中心の距離mの値を求めよ。


(以下では、この問題を解くための、覚え易い形に変形した公式を示す)
(難しい形の公式は、単純な形に置きかえて覚え易くするのが数学のコツです。)

この問題は、円の場合は、以下のようにして解けました。

この直線の式のxとyの係数は単位ベクトルであらわしています。
検算してみると、(3/√(3+2))の二乗+(2/√(3+2))の二乗=1になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。
その直線の式において、(単位ベクトル)と(ベクトル(x,y))との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
(その理由は単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル(直線に垂直)への正射影の長さになるからです。また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点(x,y)を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。)

すなわち、単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式のmが、
直線の座標原点からの距離です。
その距離mが円の半径に等しい場合が、
単位ベクトルCに垂直な直線が円に接します。

【楕円の場合の、傾きが定まっている直線が楕円に接する条件】
 楕円の場合を、円の場合に対応させて、結論だけを整理して書くと以下の図のようになります。
【上の図の式の意味の説明】
 単位ベクトルC(g,h)に垂直な直線が楕円(x/a+y/b=1)に接する場合の、
楕円の中心と直線との距離mを計算しました。
その計算の結果、単位ベクトルC(g,h)のxの項gとyの項hに関して、
=(g・a)+(h・b)  (式1)
になりました。
mの値は、正の値と負の値との2つです。
その計算結果のmを使って、楕円に接する直線は以下の式になります。
g・x+h・y=m    (式2)

この式を(hが0でない場合に)変形した以下の式が参考書に公式として書いてありますが、
その公式を覚えにくい人は、上の式1と2を公式として覚えて使ってください。
(他の参考書の公式)
y+(g/h)x=m/h       (式3)
(m/h)=(a・g/h)+b   (式4)
なお、式2の直線が楕円に接する接点の座標は、
A(g・a/m,h・b/m)     (式5)
と、
A’(-g・a/m,-h・b/m)  (式6)
です。

【楕円の接線の良く知られた公式】
また、楕円上の点A(p,q)で楕円に接する直線の公式は、以下の式です。
 p・x/a+q・y/b=1   (式7)
この公式は、円の接線の公式と同様に、
楕円の式のx又はyの2乗の項の一方のみx およびyを残した式です。

【式1を式7から導出する方法】
先ず、この式7を、単位ベクトルのxの項gとyの項hを用いた式2の形に変形します。
式7を、xとyの係数が単位ベクトルC(g,h)の要素であらわされる式(その式の右辺の定数項の値はmになる)に変形すると、そのgとhは以下の式になります。
g=(p/a/√{(p/a(q/b} (式8)
h=(q/b/√{(p/a(q/b} (式9)
すなわち、式2の左辺は式7の左辺を、
s=√{(p/a(q/b}   (式10)
で割り算した形の式です。
そのため、式2の右辺のmは、式7の右辺の1を式10のsで割り算した以下の式になります。
m=1/√{(p/a(q/b
1/{(p/a+(q/b
={(p/a)+(q/b)}/{(p/a+(q/b
この式は、式8のgと式9のhを使ってあらわすと、以下の式になります。
=(g・a)+(h・b)  (式1)
この式は、求める式1です。
このように、式7から式1が導けました。

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