2016年10月9日日曜日

入試問題:図形の長さの比の問題

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

【問い】
以下の図の原点OとA(1,0)とB(0,1)に対して点Pが、以下の関係の位置にある。
OP:AP:BP=1:a:b
とする。 ここで、a≧0,b≧0,である。

このとき、P点が任意の位置に動くとき、aとbの取りうる値(a,b)の範囲をa,b 座標平面であらわせ。

【解答の方針】
 この問題は、上図のようにP点の座標をP(Px,Py)として、その点Pの座標をa,bであらわす方程式を立てて計算します。


【解答】
(1)

OP:OA=1:aの方程式:
①’に②を代入して変形する。
この式③でPxをaとOP=pであらわせる。
(2)
OP:OB=1:bの方程式:
同様にして、
この式⑤でPyをaとpであらわせる。
(3)
式②に式③と式⑤を代入してPxとPyを消去する。
式⑥からpの解をaとbの関数であらわすことができる。
pの実数解があれば、PxとPyも式③と⑤から求められる。
(4)
式⑥がpの実数解を持つ条件は、以下の判別式を満足することである。
この判別式のaとbの条件を(a,b)座標平面内の範囲であらわすと、以下の図の斜線の範囲になる。
上の図で、aとbが正の領域が解の条件(a≧0,b≧0)の範囲です。
(5)
 問題となる点は、この範囲内の(a,b)であれば必ずP(Px,Py)が存在するかということです。
 その問題に対しては、この(a,b)の範囲内ならば、式⑥で実数のpの解が求められる。その実数解pを使えば、式③と⑤でPxとPyが求められるので、必ずP(Px,Py)が存在する。
(解答おわり)

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2015年2月14日土曜日

原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法




【解説】
直線を座標原点を中心に回転させた場合の楕円の方程式を考える。
 先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。
この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。
 ここで、楕円の軸方向のベクトルgとhを考えます。
この軸ベクトルgとhを使って楕円上の点Pの位置ベクトルをあらわすことにすると、以下の式が成り立つ。
そして、楕円の式を変形して、楕円の式の意味を考える。
 回転した楕円の方程式を、楕円上の点Pの位置ベクトルPに対するべクトルの関数Fを使って、そのベクトルFと位置ベクトルPとの内積が1になる方程式であると解釈します。
 そのベクトル関数Fは、以下の式のように、楕円の2つの軸方向の各ベクトルを、それぞれ異なる倍率1/aと1/b倍のベクトルに拡大するベクトル関数であると解釈できます。 
楕円をあらわすベクトル方程式のベクトル関数FがXY座標方向の単位ベクトルxとyに対してはどのように作用するかを調べてみます。


 上の式のように、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があります。

 次に、下の図のように、ベクトルPを、単位ベクトルxのX倍のベクトルと、単位ベクトルyのY倍のベクトルの和であらわします。

そのベクトルPに関する楕円の方程式を以下のように計算します。


すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Fを使って、以下の式であらわした。
 
このように、系数A,B,Cを使ったX座標とY座標の関数で楕円があらわされる。

【問】
 このような形で原点の回りに回転した楕円の方程式が与えられたとき、その楕円の回転軸の方向を計算する公式を求めよ。

 この問題を解くために、ベクトル関数Fは、X座標の方向の単位ベクトルxと、Y座標の方向の単位ベクトルyを、系数A,B,Cを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考える。
 ここで、このべクトル関数Fは、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があるので、その関係を満足するように関数の形を確定しました。

 こうしてベクトル関数Fの形が定められた。
 次に、このベクトル関数Fによってベクトルの方向が変えられないベクトルgとhを求める。
 そのベクトルgとhが楕円の軸方向のベクトルであり、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしている。
 その軸方向のベクトルgとhの、x座標軸と成す角度θのタンジェントtanθを求めよ。

 できれば、この問題を自力で解いて欲しい。 その方が、楽しく数学を学べると思いますので。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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2014年2月23日日曜日

美しい数学:美しい問題の種

大学への数学Ⅲ&Cの勉強 

【問1】 以下の式を因数分解せよ。
-7x+1
【美しい計算方法の例】
以下の計算方法は解き方が美しいです。
そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれません。


【別解:苦労する解き方】

多くの人は以下のように計算するのではないかと思います。
しかし、以下の計算方法はとても苦労し、美しくありません。

ここで二重根号が出てきました。
これは、以下の様に計算して簡単な根号の和に変換します。
(1)最初の2項にある二重根号の簡単化
(2)最後の2項にある二重根号の簡単化

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2014年2月20日木曜日

美しい数学:平方完成の検算

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

【検算の参考例】
以下の式を平方完成して、その検算の1例を示します。

上の式は、以下のように検算できます。
この検算方法が優れている点は以下の点にあります。
2つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。
(1)検算の計算が間違っている。
(2)検算された対象の式の計算が間違っていた。
このどちらなのかを決定しなければなりません。
  しかし、元の式の計算の誤り箇所がなかなか発見できず、(1)の可能性が疑われる場合があります。
その場合は、以下のように代入する数値を変えて、もう1度検算すると良いです。そうすると検算の誤りも検算することができます。


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2014年2月19日水曜日

微分を利用して平方完成する公式

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

【覚えてください】
以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。

上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。

(例題1)
以下の式を平方完成します。

 この解の方針に従って、以下のように計算します。

(第2の場合)
 xの2乗の項が2つ以上ある場合は、以下のように計算します。

 このように計算すると、平方完成の計算を、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

(普通の平方完成の計算の方が速い場合)
 しかしながら、以下の式の場合のように、既に式がきれいな式に展開済みの場合は、
普通の平方完成の計算の方が速く答えを計算できます。

文字係数kが混ざっている式の場合は、通常の平方完成の計算の方が楽です。

 どの計算方法が最も速く答えを出せるか、状況に応じて使い分けてください。

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2014年2月17日月曜日

美しい数学:放物線と直線の交点

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

【覚えてください】
 上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。

【交点の座標xの計算方法】
 先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のx座標sを計算します。

 次に、そのx=sの位置での放物線のy座標と直線のy座標とを計算します。
(放物線の係数)(x-s)=(直線のy座標)-(放物線のy座標)
の式により、交点の座標Xが求められます。

 この式は、直線と放物線の式を連立させて解くことで得られる式と同じ式です。
方程式を解くよりも以上のやり方で計算する方が、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。


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2014年2月16日日曜日

美しい数学:ベクトルの内積の式の解の存在条件

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

【覚えてください】
 上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。
 ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの式になります。

【問題】
 固定ベクトルaに対して、任意のベクトルpに対して以下の方程式を成り立たせるベクトルbの解が必ず存在するものとする。
 この条件を満足するベクトルaの範囲を求めよ。


【解答】 

 
 この式の解が存在するためのベクトルaの範囲は上の式で与えられる半径1以下の円内の点です。
(解答おわり)

 この問題の出題意図は、以下のように考えられます。
 ベクトルの問題に限らず、数学の複雑な問題はコンピュータを利用して解きます。
 そのとき、コンピュータを使用する人間に求められる大切な能力は、
(1)コンピュータが正しく答えを出せるような、コンピュータが解ける問題をコンピュータに与えているかどうかの判断力。
(2)コンピュータの出した答えが間違っていないか、その答えの概要を予測する能力。
です。
 この問題は、その「答えの予測力」を問う問題です。
 出題者の意図通りに、「答えの予測力」を示した解答を書くようにしましょう。

 ベクトルaが半径1の円の外にある場合における「答えの予測」も、以下のように予測できるようになりましょう。

ベクトルaが半径1の円の外にある場合は、上の式のように、解を与えるベクトルpが制限されます。この条件が満足されないベクトルpに対してはベクトルbをどのように選んでも方程式を満足させることができず、解が存在しません。

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